Задание №318
на тему: "Тригонометрические уравнения. Примеры к уроку №2"

a) Решите уравнение `5tt(tg)^2x + 3/cosx + 3 = 0`.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[(5pi)/2; 4pi]`.

Источник:

fipi.ru

Номер источника:

4FACBB

Решение:

Задание "а":

Подставим выражение `tt(tg)x=sinx/cosx` в уравнение. Уравнение примет вид:

`5(sinx/cosx)^2+3/cosx+3=0`.

Раскроем скобки. Получим

`(5sin^2x)/cos^2x+3/cosx+3=0`.

Приведем к общему знаменателю. Получим дробь

`(5sin^2x+3cosx+3cos^2x)/cos^2x=0.`

Дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно системе

`{(5sin^2x+3cosx+3cos^2x=0),(cos^2x!=0):}`

Решим уравнение `5sin^2x+3cosx+3cos^2x=0`. Для этого используем основное тригонометрическое тождество:

`cos^2x+sin^2x=1`.

Выразим из него квадрат синуса `sin^2x=1-cos^2x`. Подставим полученное выражение в уравнение. Получим

`5(1-cos^2x)+3cosx+3cos^2x=0`.

Раскроем скобки и приведем подобные:

`5-5cos^2x+3cosx+3cos^2x=0`.

Получим

`-2cos^2x+3cosx+5=0`.

Для `cosx` уравнение является квадратным. Решим квадратное уравнение:

`D=3^2+4*2*5=49=7^2`,

`cosx=(-3+-7)/-4`,

[(cosx=5/2),(cosx=-1):}

Уравнение `cosx=5/2` не имеет корней, так как косинус не может быть больше 1.

Уравнение `cosx=-1` имеет решения `x=pi+2pin,ninZZ`.

Не забываем про неравенство. `cos^2x!=0`, когда `cosx!=0`. И очевидно, что неравенство не ограничивает корни уравнения, а значит решениями системы и исходного уравнения являются `x=pi+2pin,ninZZ`.

Ответ к заданию “а”: `pi+2pin,ninZZ`.

Задание "б":

Построим числовую окружность и отметим на ней точку соответствующую корням полученным при решении задания “а”. Это точка находится слева от центра окружности на ее пересечении с осью абсцисс.

Затем найдем точку на окружности которая соответствует наименьшему значению заданного отрезка, это значение `(5pi)/2`. Положение этой точки можно определить выполнив положительный поворот от `2pi` на четверть оборота, что соответствует преобразованию `2pi+pi/2=(5pi)/2`. Следовательно эта точка находится над центром окружности на ее пересечении с осью ординат.

От этой точки сделаем положительный поворот на четверть окружности, что соответствует преобразованию `(5pi)/2 + pi/2 = 3pi`. Следовательно точка слева от центра окружности на ее пересечении с осью абсцисс соответствует на заданном отрезке значению `3pi` и корням уравнения из задания "а". То есть `3pi` искомое значение.

Положительный поворот от этой точки на половину окружности, соответствует преобразованию `3pi+pi=4pi`. То есть второй конец заданного отрезка находится справа от центра окружности на ее пересечении с осью абсцисс.

Дуга во второй, третьей и четвертой четверти соответствует заданному отрезку и на ней встречается только одна точка соответствующая корням уравнения из части "а". На заданном отрезке эта точка соответствует значению `3pi`.

Ответ к заданию “б”: `3pi`.

Ответ:

а) `pi+2pin,ninZZ`. б) `3pi`.

Курсы

  • ЕГЭ профильного уровня. Задания второй части.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Курс будет полезен тем, кто желает получить опыт решения заданий из второй части ЕГЭ профильного уровня. Для понимания материалов курса необходимо закончить 10 классов средней школы.

    Узнать больше
  • Тригонометрия в заданиях 9 и 13 ЕГЭ профильного уровня.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Этот курс будет полезен тем кто желает научиться решать типовые задания ЕГЭ профильного уровня на тему тригонометрия. Для понимания материалов курса необходимо закончить 9 классов средней школы.

    Узнать больше

Вебинары

Самостоятельные работыЗадания с развернутым ответом

Николай Юрьевич Янчев

тел.: +7 (919) 962-81-92

email: nu.yanchev@gmail.com

skype: nyanchev

Пользовательское соглашение