Задание №317
на тему: "Тригонометрические уравнения. Примеры к уроку №2"

a) Решите уравнение `4sin^3x=cos(x-(5pi)/2)`.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[(3pi)/2; (5pi)/2]`.

Источник:

fipi.ru

Номер источника:

67FCEC

Решение:

Задание "а":

Первым делом, `cos(x-(5pi)/2)` приведем к аргументу икс:

`cos(x-(5pi)/2)=sinx`.

Подставим и получим уравнение:

`4sin^3x=sinx`.

Перенесем синус икс налево. Получим

`4sin^3x-sinx=0`.

Вынесем синус икс за скобки. Получим

`sinx(4sin^2x-1)=0`.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений:

`[(sinx=0), (4sin^2x-1=0):}`

Корнями уравнения `sinx=0` являются `x=pin,ninZZ`.

Решим уравнение

`4sin^2x-1=0`.

Перенесем единицу направо. Получим

`4sin^2x=1`.

Поделим на четыре. Получим

`sin^2x=1/4`.

Полученное равенство верно, если

`sinx=+-1/2`.

Корнями совокупности этих уравнений являются

`[(x=-pi/6+pik, k in ZZ),(x=pi/6+pim, m in ZZ):}`

Ответ к заданию “а”: `pin,ninZZ;-pi/6+pik,kinZZ;pi/6+pim,m inZZ`.

Задание "б":

Построим числовую окружность и отметим на ней точки соответствующие корням полученным при решении задания “а”. Это точки с ординатой `-1/2` и `1/2`, а также точки на пересечении оси абсцисс с окружностью.

Затем найдем точку на окружности соответствующую наименьшему значению заданного отрезка, это значение `(3pi)/2`. `(3pi)/2` можно получить путем прибавления к числу `pi` числа `pi/2`. То есть точку можно найти сделав положительный поворот на четверть окружности от точки соответствующей числу `pi`. Таким образом искомая точка находится внизу окружности на ее пересечении с осью ординат.

От этой точки сделаем положительный поворот на четверть окружности, что соответствует преобразованию `(3pi)/2+pi/2=2pi`. То есть точка справа от центра окружности на ее пересечении с осью абсцисс на заданном отрезке соответствует числу `2pi`. Но эта точка соответствует и корням уравнения из части "а", поэтому `2pi` это одно из искомых значений.

Затем от точки `2pi` сделаем еще один положительный поворот на четверть окружности, что соответствует преобразованию `2pi+pi/2=(5pi)/2`. Таким образом точка на пересечении оси ординат и окружности над ее центром соответствует наибольшему значению заданного отрезка.

Обратим внимание, что три точки, соответствующие корням уравнения из задания "а", которые находятся в левой полуплоскости не попадают на заданный отрезок.

Значение для одной из попавших на отрезок точек уже найдено. Это `2pi`.

Посчитаем значения на отрезке для остальных двух точек. Для этого сделаем два поворота: от `2pi` в первой четверти на `+pi/6` и в четвертой четверти на `-pi/6`. Сделаем соответствующие преобразования: для точки в первой четверти `2pi+pi/6=(13pi)/6`, для точки в четвертой четверти `2pi-pi/6=(11pi)/6`.

Ответ к заданию “б”: `(11pi)/6, 2pi, (13pi)/6`.

Ответ:

а) `pin,ninZZ;-pi/6+pik,kinZZ;pi/6+pim,m inZZ`. б) `(11pi)/6, 2pi, (13pi)/6`.

Курсы

  • ЕГЭ профильного уровня. Задания второй части.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Курс будет полезен тем, кто желает получить опыт решения заданий из второй части ЕГЭ профильного уровня. Для понимания материалов курса необходимо закончить 10 классов средней школы.

    Узнать больше
  • Тригонометрия в заданиях 9 и 13 ЕГЭ профильного уровня.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Этот курс будет полезен тем кто желает научиться решать типовые задания ЕГЭ профильного уровня на тему тригонометрия. Для понимания материалов курса необходимо закончить 9 классов средней школы.

    Узнать больше

Вебинары

Самостоятельные работыЗадания с развернутым ответом

Николай Юрьевич Янчев

тел.: +7 (919) 962-81-92

email: nu.yanchev@gmail.com

skype: nyanchev

Пользовательское соглашение