Задание №305
на тему: "Тригонометрические уравнения. Примеры к уроку №2"

a) Решите уравнение `cos2x+sin^2x=0,75`.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[pi; (5pi)/2]`.

Источник:

fipi.ru

Номер источника:

4673

Решение:

Задание "а":

Используем формулу косинуса двойного угла:

`cos2x=1-2sin^2x`.

Подставим, выполним преобразования и получим

`1-2sin^2x+sin^2x=0,75`,

`1-sin^2x=0,75`,

`sin^2x=0,25`,

`sin^2x=1/4`,

`sinx=+-1/2`,

`[(x=-pi/6+pin, n in ZZ),(x=pi/6+pik, k in ZZ):}`

Ответ к заданию “а”: `-pi/6+pin, n in ZZ, pi/6+pik, k in ZZ`.

Задание "б":

Построим числовую окружность и отметим на ней точки соответствующие корням полученным при решении задания “а”. Это точки с ординатой `-1/2` и `1/2`. Проведем две горизонтальные прямые через середину радиуса над и под центром окружности, 4 точки пересечения этих прямых и окружности искомые.

Затем найдем точку на окружности соответствующую наименьшему значению заданного отрезка, это значение `pi`. Эта точка находится слева на пересечении окружности и оси абсцисс.

От этой точки сделаем положительный поворот на половину окружности, что соответствует преобразованию `pi+pi=2pi`. Таким образом точка на пересечении оси абсцисс и окружности справа от ее центра на заданном отрезке соответствует значению `2pi`.

Сделаем еще один положительный поворот, только теперь уже на четверть окружности, что соответствует преобразованию `2pi+pi/2=(5pi)/2`. То есть точка над центром окружности на ее пересечении с осью ординат соответствует наибольшему значению заданного отрезка.

Обращаем внимание, что одна из точек, соответствующих корням уравнения из задания а, находится во второй четверти не попадает на заданный отрезок.

Посчитаем значения на отрезке для остальных трех точек.

Для этого сделаем три поворота: в третьей четверти на `+pi/6` от `pi`, в четвертой четверти на `-pi/6` от `2pi` и в первой четверти на `+pi/6` от `2pi`.

Сделаем соответствующие преобразования: для точки в третьей четверти `pi+pi/6=(6pi)/6+pi/6=(7pi)/6`, для точки в четвертой четверти `2pi-pi/6=(12pi)/6-pi/6=(11pi)/6`, для точки в первой четверти `2pi+pi/6=(12pi)/6+pi/6=(13pi)/6`.

Ответ к заданию “б”: `(7pi)/6,(11pi)/6, (13pi)/6`.

Ответ:

а) `-pi/6+pin, n in ZZ; pi/6+pik, k in ZZ`. б) `(7pi)/6,(11pi)/6, (13pi)/6`

Курсы

  • ЕГЭ профильного уровня. Задания второй части.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Курс будет полезен тем, кто желает получить опыт решения заданий из второй части ЕГЭ профильного уровня. Для понимания материалов курса необходимо закончить 10 классов средней школы.

    Узнать больше
  • Тригонометрия в заданиях 9 и 13 ЕГЭ профильного уровня.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Этот курс будет полезен тем кто желает научиться решать типовые задания ЕГЭ профильного уровня на тему тригонометрия. Для понимания материалов курса необходимо закончить 9 классов средней школы.

    Узнать больше

Вебинары

Самостоятельные работыЗадания с развернутым ответом

Николай Юрьевич Янчев

тел.: +7 (919) 962-81-92

email: nu.yanchev@gmail.com

skype: nyanchev

Пользовательское соглашение