Задание №316
на тему: "Тригонометрические уравнения. Примеры к уроку №1"

a) Решите уравнение `6sin^2x+7cosx-1=0.`

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-(7pi)/2; -(5pi)/2]`.

Источник:

fipi.ru

Номер источника:

EE8C26

Решение:

Решение задания а:

Из основного тригонометрического тождества получим `sin^2x=1-cos^2x`.

В заданном уравнении подставим вместо `sin^2x` полученное выражение. Уравнение примет вид:

`6(1-cos^2x)+7cosx-1=0`.

Раскроем скобки и приведем подобные. Получим:

`6-6cos^2x+7cosx-1=0`,

`-6cos^2x+7cosx+5=0`.

Решим квадратное уравнение:

`D=7^2+4*5*6=169=13^2`,

`[(cosx=(-7+13)/-12=-1/2),(cosx=(-7-13)/-12=-5/3):}`

Уравнение `cosx=-5/3` не имеет корней, так как `-1<=cosx<=1`.

`cosx=-1/2`,

`[(x=(2pi)/3+2pin, n in ZZ),(x=-(2pi)/3+2pim,m inZZ):}`

Ответ к заданию “а”: `(2pi)/3+2pin, n in ZZ`, `-(2pi)/3+2pim,m inZZ`.

Решение задания "б":

Построим числовую окружность и отметим на ней точки соответствующие корням полученным при решении задания “а”. Это точки с абсциссой `-1/2`. Проведем вертикальную прямую через середину радиуса слева от центра окружности, 2 точки пересечения прямой и окружности являются искомыми. Найдем точку на окружности соответствующую наименьшему значению заданного отрезка, это значение `-(7pi)/2`. Точка находится вверху на пересечении оси ординат и окружности. Отметим дугу соответствующую заданному отрезку. Сделаем положительный поворот на четверть окружности от точки `-(7pi)/2` и окажемся слева от центра на пересечении оси абсцисс и окружности. Значение на заданном отрезке у этой точки `-3pi`. Затем сделаем еще один положительный поворот от `-3pi` на четверть окружности. Попадем в точку снизу от центра на пересечении оси ординат и окружности. Значение на отрезке в этой точке равно `-3pi+pi/2=-(5pi)/2`. Это наибольшее значение заданного отрезка.

Обе точки соответствующие корням уравнения попадают на заданный отрезок. Посчитаем для них значения на отрезке. Для этого сделаем повороты во второй четверти на `-pi/3` от `-3pi`, в третьей четверти на `+pi/3` от `-3pi`.

Значение во второй четверти `-3pi-pi/3=-(10pi)/3`, в третьей четверти `-3pi+pi/3=-(8pi)/3`.

Ответ к заданию “б”: `-(10pi)/3`, `-(8pi)/3`.

Ответ:

a) `(2pi)/3+2pin, n in ZZ`, `-(2pi)/3+2pim,m inZZ`. б) `-(10pi)/3`, `-(8pi)/3`.

Курсы

  • ЕГЭ профильного уровня. Задания второй части.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Курс будет полезен тем, кто желает получить опыт решения заданий из второй части ЕГЭ профильного уровня. Для понимания материалов курса необходимо закончить 10 классов средней школы.

    Узнать больше
  • Тригонометрия в заданиях 9 и 13 ЕГЭ профильного уровня.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Этот курс будет полезен тем кто желает научиться решать типовые задания ЕГЭ профильного уровня на тему тригонометрия. Для понимания материалов курса необходимо закончить 9 классов средней школы.

    Узнать больше

Вебинары

Самостоятельные работыЗадания с развернутым ответом

Николай Юрьевич Янчев

тел.: +7 (919) 962-81-92

email: nu.yanchev@gmail.com

skype: nyanchev

Пользовательское соглашение