Задание №315
на тему: "Тригонометрические уравнения. Примеры к уроку №1"

a) Решите уравнение `8sin^4x+10sin^2x-3=0.`

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-(7pi)/2; -2pi]`.

Источник:

fipi.ru

Номер источника:

FED14E

Решение:

Решение задания а:

Введем новую переменную `t=sin^2x`, где `0<=t<=1`, так как `0<=sin^2x<=1` при любых значениях `x`. Сделаем замену и получим уравнение:

`8t^2+10t-3=0`.

Решим квадратное уравнение.

`D=10^2+4*3*8=196=14^2`,

`[(t=(-10+14)/16=1/4), (t=(-10-14)/16=-3/2):}`

`t=-3/2` не удовлетворяет условию замены, поэтому `t=1/4` единственный подходящий корень. Сделаем обратную замену и получим `sin^2x=1/4`.

Это равенство верно при

`[(sinx=-1/2),(sinx=1/2):}`

Решениям этих уравнений соответствуют четыре точки. Обратим внимание, что точки можно разделить на пары, так что в каждой паре точки расположены друг от друга на удалении половины окружности или `pi` радиан, поэтому каждую пару можно определить одной формулой. Пара точек в первой и третьей четвертях соответствует `x=pi/6+pin, n in ZZ`, а пара во второй и четвертой четвертях `x=-pi/6+pim, m in ZZ`:

`[(x=pi/6+pin, n in ZZ),(x=-pi/6+pim, m in ZZ):}`

Ответ к заданию “а”: `pi/6+pin, n in ZZ`; `-pi/6+pim, m in ZZ`.

Решение задания "б":

Построим числовую окружность и отметим на ней точки соответствующие корням полученным при решении задания “а”. Это точки с ординатами `1/2` и `-1/2`. Проведем две горизонтальные прямые через середину радиуса над и под центром окружности, 4 точки пересечения прямых и окружности искомые.

Найдем точку на окружности соответствующую наименьшему значению заданного отрезка, это значение `-(7pi)/2`.

`-4pi+pi/2=-(7pi)/2`.

Четному количеству `pi` соответствует точка расположенная справа от центра на пересечении оси абсцисс и окружности. Если сделать поворот от точки соответствующей четному количеству `pi` на четверть оборота в положительном направлении попадем в точку соответствующую `-(7pi)/2`. Эта точка находится вверху на пересечении оси ординат и окружности.

Отметим дугу соответствующую заданному отрезку. Для этого сначала сделаем положительный поворот на четверть окружности от точки `-(7pi)/2` и окажемся слева от центра на пересечении оси абсцисс и окружности. Этот поворот соответствует преобразованию `-(7pi)/2+pi/2=-(6pi)/2=-3pi`. Поэтому полученная точка на заданном отрезке соответствует `-3pi`.

Затем сделаем положительный поворот от `-3pi` на половину окружности. Попадем в точку справа от центра на пересечении оси абсцисс и окружности. Значение на отрезке получаем преобразованием `-3pi+pi=-2pi`. Обратим внимание, что `-2pi` наибольшее значение заданного отрезка.

Одна из точек соответствующая корням уравнения и находящаяся в первой четверти не попадает на заданный отрезок. Посчитаем значения на отрезке для остальных трех точек. Для этого сделаем три поворота: во второй четверти на `-pi/6` от `-3pi`, в третьей четверти на `+pi/6` от `-3pi` и в четвертой четверти на `-pi/6` от `-2pi`.

Посчитаем значение во второй четверти:

`-3pi-pi/6=-(19pi)/6`,

в третьей четверти

`-3pi+pi/6=-(17pi)/6`

и в четвертой четверти

`-2pi-pi/6=-(13pi)/6`.

Ответ к заданию “б”: `-(19pi)/6`, `-(17pi)/6`, `-(13pi)/6`.

Ответ:

a) `pi/6+pin, n in ZZ`; `-pi/6+pim, m in ZZ`. б) `-(19pi)/6`, `-(17pi)/6`, `-(13pi)/6`.

Курсы

  • ЕГЭ профильного уровня. Задания второй части.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Курс будет полезен тем, кто желает получить опыт решения заданий из второй части ЕГЭ профильного уровня. Для понимания материалов курса необходимо закончить 10 классов средней школы.

    Узнать больше
  • Тригонометрия в заданиях 9 и 13 ЕГЭ профильного уровня.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Этот курс будет полезен тем кто желает научиться решать типовые задания ЕГЭ профильного уровня на тему тригонометрия. Для понимания материалов курса необходимо закончить 9 классов средней школы.

    Узнать больше

Вебинары

Самостоятельные работыЗадания с развернутым ответом

Николай Юрьевич Янчев

тел.: +7 (919) 962-81-92

email: nu.yanchev@gmail.com

skype: nyanchev

Пользовательское соглашение