Задание №314
на тему: "Тригонометрические уравнения. Примеры к уроку №1"

a) Решите уравнение `2cos^3x-cos^2x+2cosx-1=0.`

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[2pi; (7pi)/2]`.

Источник:

варианты ЕГЭ досрочного периода 2020 года

Номер источника:

вариант 2

Решение:

Решение задания а:

Разложим левую часть заданного уравнения на множители. Для этого используем способ группировки. Вынесем в первых двух слагаемых общий множитель `cos^2x` за скобки:

`cos^2x*(2cosx-1)+2cosx-1=0`.

Вынесем за скобки получившийся общий множитель `2cosx-1`:

`(2cosx-1)*(cos^2x+1)=0`.

Любое произведение равно нулю если хотя бы один из множителей равен нулю:

`[(2cosx-1=0), (cos^2x+1=0):}`.

Решим по очереди оба полученных уравнения.

Первое уравнение:

`2cosx-1=0`,

`cosx=1/2`.

`cosx=1/2` в точках числовой окружности абсцисса которых равна `1/2`. Это соответствует точке `pi/3+2pin, ninZZ` или `-pi/3+2pik, kinZZ`.

Второе уравнение:

`cos^2x+1=0,`

`cos^2x=-1`.

Это невозможно при любых `x`, поэтому это уравнение не имеет корней.

Таким образом `pi/3+2pin, ninZZ` или `-pi/3+2pik, kinZZ` корни заданного уравнения:

`[(x=pi/3+2pin, ninZZ),(x=-pi/3+2pik, kinZZ):}`.

Ответ к заданию “а”: `pi/3+2pin, ninZZ`; `-pi/3+2pik, kinZZ`.

Решение задания б:

Построим числовую окружность и отметим на ней точки соответствующие корням полученным при решении задания “а”. Это точки с абсциссой `1/2`. Чтобы их правильно отметить проведем вертикальную прямую через середину радиуса справа от центра окружности. Пересечения этой прямой и окружности и есть искомые точки.

Затем найдем точку на окружности соответствующую наименьшему значению заданного отрезка, это значение `2pi`. `2pi` это четное количество `pi` поэтому соответствующая точка находится справа на пересечении окружности и оси абсцисс.

Отметим дугу от `2pi` до `(7pi)/2`. Чтобы получить из числа `2pi` число `(7pi)/2` надо к `2pi` прибавить `(3pi)/2`. Поэтому, чтобы отметить дугу соответствующую заданному отрезку сделаем положительный поворот от `2pi` на угол `(3pi)/2`. Напомню, положительный поворот для числовой окружности это поворот против часовой стрелки. В результате попадем в точку `(7pi)/2`, которая находится ниже центра на пересечении окружности и оси ординат.

Одна из точек соответствующая корням уравнения не попадает на заданный отрезок.

Ко второй точке от значения `2pi` можно попасть сделав положительный поворот на угол `pi/3`:

`(2pi)/3+pi/3=(7pi)/3`.

Это значение единственное, которое является корнем уравнения из задания “а” и принадлежит отрезку из задания “б”.

Ответ к заданию “б”: `(7pi)/3`

Ответ:

a) `pi/3+2pin, ninZZ`; `-pi/3+2pik, kinZZ`. б) `(7pi)/3`

Курсы

  • ЕГЭ профильного уровня. Задания второй части.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Курс будет полезен тем, кто желает получить опыт решения заданий из второй части ЕГЭ профильного уровня. Для понимания материалов курса необходимо закончить 10 классов средней школы.

    Узнать больше
  • Тригонометрия в заданиях 9 и 13 ЕГЭ профильного уровня.

    Стоимость подписки 250 рублей за один месяц. Этот курс будет полезен тем кто желает научиться решать типовые задания ЕГЭ профильного уровня на тему тригонометрия. Для понимания материалов курса необходимо закончить 9 классов средней школы.

    Узнать больше

Вебинары

Самостоятельные работыЗадания с развернутым ответом

Николай Юрьевич Янчев

тел.: +7 (919) 962-81-92

email: nu.yanchev@gmail.com

skype: nyanchev

Пользовательское соглашение